第六百六十九章 Frankl的并封闭集合猜想

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对于一个包含至少2个集合的、对并运算封闭的有限集合族，至少存在一个元素，使得它在至少一半的集合里出现过。

我们来解读一下这个猜想说的啥。

首先集合，就是包含了一系列元素的合集，这里面的元素既可以是数字，也可以是变量等。

例如这是一个我们常见的数集，而且是有限的（只包括3个元素）：{1，2，3}

至于无限数集，就像是自然数集、有理数集、整数集这种由无限个元素组成的集合。

当然，集合也有集合，它们组合起来，就可以被叫做集族，例如下图中F就是一个集族：

在这些集族中，有一类特殊的集族对并运算封闭。

对集族中的集合而言，并运算就是对两个集合求并集；至于并运算封闭，即是指在对任意两个集合进行并运算后，其结果仍然在这个集族中。

以下面这个集族为例：{1}{1，2}{1，2，3}{1，2，3，4}

无论是对{1}、{1，2}求并集，还是对{2，3，4}、{1}求并集，还是对{1，2}、{2，3，4}求并集……任意两个集合求并集，其结果都会在这个集族中。

所以，上面这个集族就符合并封闭集合这一要求，而并封闭猜想也正是基于此而提出。

值得注意的是，这一猜想中的“一半”是紧致的，毕竟对于任何一个集合的子集族，所有的元素恰好在一半的集合里出现过。

它于1979年被一个叫Péter Frankl的数学家提出，所以也一度被叫做Frankl猜想。

看起来似乎不难，然而到实际解决时，一众数学家才发现这并不简单。

达特茅斯学院数学教授Peter Winkler曾经在1987年就这个猜想给出尖锐的评价：

并封闭集合猜想确实很有名，除了它的起源和它的答案。

为了解决这个问题，数学家们也已经尝试过不少方法。

例如有人试着给猜想加上一些限制条件，让它在这些情况下成立。

像是将它和图论中的二分图（Bipartite Graph）联系起来，证明具备其中某种性质的集族，在这个猜想的条件下成立。

又或是给其中的元素加以限制，再加以证明……

BUT，无论是哪种方法，距离真正需要证明的猜想都还差不少距离。

来自哥伦比亚

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